Golden Powers in the Fibonacci series

Below is a table showing how taking increasingly distant intervals in the Fibonacci series converge to powers of the golden ratio (Phi).

 Phi (converging) Phi-squared Phi-cubed Phi^4 Phi^5 Phi^6 Phi^7 Phi^8 1 1 1 2 2 2 3 1.5 3 3 5 1.666666667 2.5 5 5 8 1.6 2.666666667 4 8 8 13 1.625 2.6 4.333333333 6.5 13 13 21 1.615384615 2.625 4.2 7 10.5 21 21 34 1.619047619 2.615384615 4.25 6.8 11.33333333 17 34 34 55 1.617647059 2.619047619 4.230769231 6.875 11 18.33333333 27.5 55 89 1.618181818 2.617647059 4.238095238 6.846153846 11.125 17.8 29.66666667 44.5 144 1.617977528 2.618181818 4.235294118 6.857142857 11.07692308 18 28.8 48 233 1.618055556 2.617977528 4.236363636 6.852941176 11.0952381 17.92307692 29.125 46.6 377 1.618025751 2.618055556 4.235955056 6.854545455 11.08823529 17.95238095 29 47.125 610 1.618037135 2.618025751 4.236111111 6.853932584 11.09090909 17.94117647 29.04761905 46.92307692 987 1.618032787 2.618037135 4.236051502 6.854166667 11.08988764 17.94545455 29.02941176 47 1597 1.618034448 2.618032787 4.236074271 6.854077253 11.09027778 17.94382022 29.03636364 46.97058824 2584 1.618033813 2.618034448 4.236065574 6.854111406 11.09012876 17.94444444 29.03370787 46.98181818 4181 1.618034056 2.618033813 4.236068896 6.854098361 11.09018568 17.94420601 29.03472222 46.97752809 6765 1.618033963 2.618034056 4.236067627 6.854103343 11.09016393 17.94429708 29.03433476 46.97916667 10946 1.618033999 2.618033963 4.236068111 6.85410144 11.09017224 17.9442623 29.03448276 46.97854077 17711 1.618033985 2.618033999 4.236067926 6.854102167 11.09016907 17.94427558 29.03442623 46.97877984 28657 1.61803399 2.618033985 4.236067997 6.85410189 11.09017028 17.94427051 29.03444782 46.97868852 46368 1.618033988 2.61803399 4.23606797 6.854101996 11.09016982 17.94427245 29.03443957 46.9787234 75025 1.618033989 2.618033988 4.23606798 6.854101955 11.09016999 17.94427171 29.03444272 46.97871008 121393 1.618033989 2.618033989 4.236067976 6.854101971 11.09016993 17.94427199 29.03444152 46.97871517 196418 1.618033989 2.618033989 4.236067978 6.854101965 11.09016995 17.94427188 29.03444198 46.97871323 317811 1.618033989 2.618033989 4.236067977 6.854101967 11.09016994 17.94427192 29.03444181 46.97871397 514229 1.618033989 2.618033989 4.236067978 6.854101966 11.09016994 17.94427191 29.03444187 46.97871369 832040 1.618033989 2.618033989 4.236067977 6.854101966 11.09016994 17.94427191 29.03444185 46.97871379 1346269 1.618033989 2.618033989 4.236067978 6.854101966 11.09016994 17.94427191 29.03444186 46.97871375 2178309 1.618033989 2.618033989 4.236067977 6.854101966 11.09016994 17.94427191 29.03444185 46.97871377