Golden Powers in the Fibonacci series

Below is a table showing how taking increasingly distant intervals in the Fibonacci series converge to powers of the golden ratio (Phi).



Phi (converging)
Phi-squared
Phi-cubed
Phi^4
Phi^5
Phi^6
Phi^7
Phi^8

1









1
1







2
2
2






3
1.5
3
3





5
1.666666667
2.5
5
5




8
1.6
2.666666667
4
8
8



13
1.625
2.6
4.333333333
6.5
13
13


21
1.615384615
2.625
4.2
7
10.5
21
21

34
1.619047619
2.615384615
4.25
6.8
11.33333333
17
34
34
55
1.617647059
2.619047619
4.230769231
6.875
11
18.33333333
27.5
55
89
1.618181818
2.617647059
4.238095238
6.846153846
11.125
17.8
29.66666667
44.5
144
1.617977528
2.618181818
4.235294118
6.857142857
11.07692308
18
28.8
48
233
1.618055556
2.617977528
4.236363636
6.852941176
11.0952381
17.92307692
29.125
46.6
377
1.618025751
2.618055556
4.235955056
6.854545455
11.08823529
17.95238095
29
47.125
610
1.618037135
2.618025751
4.236111111
6.853932584
11.09090909
17.94117647
29.04761905
46.92307692
987
1.618032787
2.618037135
4.236051502
6.854166667
11.08988764
17.94545455
29.02941176
47
1597
1.618034448
2.618032787
4.236074271
6.854077253
11.09027778
17.94382022
29.03636364
46.97058824
2584
1.618033813
2.618034448
4.236065574
6.854111406
11.09012876
17.94444444
29.03370787
46.98181818
4181
1.618034056
2.618033813
4.236068896
6.854098361
11.09018568
17.94420601
29.03472222
46.97752809
6765
1.618033963
2.618034056
4.236067627
6.854103343
11.09016393
17.94429708
29.03433476
46.97916667
10946
1.618033999
2.618033963
4.236068111
6.85410144
11.09017224
17.9442623
29.03448276
46.97854077
17711
1.618033985
2.618033999
4.236067926
6.854102167
11.09016907
17.94427558
29.03442623
46.97877984
28657
1.61803399
2.618033985
4.236067997
6.85410189
11.09017028
17.94427051
29.03444782
46.97868852
46368
1.618033988
2.61803399
4.23606797
6.854101996
11.09016982
17.94427245
29.03443957
46.9787234
75025
1.618033989
2.618033988
4.23606798
6.854101955
11.09016999
17.94427171
29.03444272
46.97871008
121393
1.618033989
2.618033989
4.236067976
6.854101971
11.09016993
17.94427199
29.03444152
46.97871517
196418
1.618033989
2.618033989
4.236067978
6.854101965
11.09016995
17.94427188
29.03444198
46.97871323
317811
1.618033989
2.618033989
4.236067977
6.854101967
11.09016994
17.94427192
29.03444181
46.97871397
514229
1.618033989
2.618033989
4.236067978
6.854101966
11.09016994
17.94427191
29.03444187
46.97871369
832040
1.618033989
2.618033989
4.236067977
6.854101966
11.09016994
17.94427191
29.03444185
46.97871379
1346269
1.618033989
2.618033989
4.236067978
6.854101966
11.09016994
17.94427191
29.03444186
46.97871375
2178309
1.618033989
2.618033989
4.236067977
6.854101966
11.09016994
17.94427191
29.03444185
46.97871377